多边形五行属性？
先简单介绍一下多边形，以及它的变形、转置等基本运算。 多边形（poligon）是由一些线段首尾相连而形成的图形，它可以是平面上的，也可以是空间中的，还可以是在其他基底层上的。我们一般用n个点（vertices）、m条边（edges）及g个面（faces）来描述多边形，其中n与m都是正整数，且m>=2。若多边形有边界（border），则称此多边形为有向（directed）的；若无边界，则为无向（undirected）的。
为了描述方便，我们还假定多边形具有下列性质： 性质1. 每一个顶点都在一条边的中点上。 性质2. 每一条边都位于两个面的交线中。 性质3. 每一个面都被两条边共享。 对于每个多边形，我们指定其中一个顶点为起点（initial vertex），记作v_0。然后按照顺时针方向把其他各顶点依次排列，并依次标记它们为v_1，...，v_{n-1}。于是我们可以把整个多边形用一个序列表示出来，记为P=(v_0， v_1，…，v_{n-1})。
接下来介绍一些关于多边形的基本概念和符号。对于任何多边形P，我们用\mathcal{I}(P)表示其边界上各顶点的次序，并用\mathcal{T}(P)表示由这个有序集合所确定的旋转。用\mathcal{F}(P)表示由\mathcal{I}(P)确定的反射。 用|P|表示多边形的总边数。用|\mathcal{I}(P)|表示其边界上顶点的个数。当P是有界的（即它有边界），并且它的边界上有足够多的顶点时，可以用一个完全指定的顺序重新排列它的边界上的所有顶点，进而得到一个新的多边形，记为P'。这种操作称为对P进行一次置换（permutation）。
对P进行一系列恰当的组合置换后，有可能得到另一个多边形P''，使其边界上的顶点数和初始的多边形P一样多。这些经过适当顺序排列的顶点就组成一个新的多边形，我们把其称为P的对偶多边形（dual polygon），记为Q。我们可以用一组新的顶点坐标和一个新的顺序来描述Q，这新的顶点就是初始多边形P的所有边界上的顶点的相反数。也就是说，如果我们对P的边界上进行一系列翻转操作，就能得到Q。不过要注意，Q可能没有意义－如果P的边界上所有的顶点个数都比其他顶点多的话，那么无论怎样翻转都无法使所有顶点的反号后的值组成的图形是一个多边形。这种情况也称为边界奇点（boundary singularity）。