函子五行属什么？
关于函子的五行，这个问题其实可以分成两个部分来讨论： （一）为什么函子的「属」会是东方的“木”； （二）为什么其他一些函子的象是西方的“金”“火”“水”。 我先试着回答第二个问题吧。 众所周知，在数学中有很多不同的代数结构（algebraic structure），例如群、环等等。那么这些代数结构的抽象表达就是“群函子”、“环函子”之类的东西了。
当然也可以反过来，由一个具体的结构开始定义它的对应函子，这就是所谓「构造论域的方法」（constructing a domain method) [1]——这是现代函子理论的一个重要思想来源之一。这个思路的好处在于我们可以很自然的将各种函子看作一个具体对象的映射，并研究其性质（例如同态、半同态等）和作用方式。 但是当我们的对象不是集合时，这种方法就常常无法使用了。这时候我们就可以考虑从另一个角度看函子本身：它到底是个什么东西呢？ 为了理解这个问题，我们不妨先从最简单的对象看起：整数集Z. 我们说一个函数f： Z → R是从一个自然对象到另一个自然对象的映射。这种概念是非常常见的，比如我们考虑下面这两个映射： f_1(n) ：= n^2 和 \begin{cases}\frac{8n}{3} &\mbox {if } n\neq0\\ 4&\mbox {if } n=0\end{cases} \\ 但它们看上去是完全不一样的，所以显然不能把它们直接当作同一个映射来看待。但如果我们将它们都看成是一个更一般的函数的特例的话，一切就不言自明了： f_1，f_2： (z/1) \rightarrow {\mathbb R}(z)，~~~~ z/1 ：= \left\{\frac{1}{p}，~ p \text{ prime }\right\} 在整数集上定义的离散型分布，而 \frac{d[f_i](m)}{{dm}} ：= m^{i-1}， ~ i = 1，2 如果将它们视为同一种类型的函子，则一切都迎刃而解了！ 那么什么才是这样的「类型」呢？
答案就是我们刚才提到的「代数结构」，或者说，是一种具有某种特殊性质的代数系统S上的所有分布的集合D(S). 这个集合有一个简单的性质：它可以写成D'(S') 的乘积，其中S' 是S的所有理想（ideal）构成的代数系统。 于是我们现在的问题就变成了：如何把一个带有理想结构的代数系统的每个理想的分布都写出来并且构成一个乘积形式？这简直就像是为函子专门设计的课题一样：只要把每个理想中的元素都写出来，再把它们的分布算一下，我们就得到了相应的函子，而且如果这样写了之后还成立交换关系的话，那就是一个环函子或者群函子了！
因此，当我们用上面的方法把一个代数结构的所有理想的分布都写出来后，得到的就是一个典型的「构造论域的方法」，因为我们可以把其中的每个理想看作某个特定对象的构造元，然后把这些元的分布加在一起就等于我们写的那个函子了…… 所以你看，这就又回到了我刚才说的第二个问题了。
最后我想补充一点的是，虽然上面大部分的内容都是我在瞎扯淡，但是如果大家感兴趣的话还是可以读读这些参考文献的，毕竟里面有不少有用的东西：
Reference： [1] S. Mac Lane， Sheaves in Geometry and Logic ， M.A.， The University of Chicago Press， 1965， Chap III.